Internetowa liga zadaniowa 2015/16- rozwiązania zadań
- październik
Zadanie 1.
Do ponumerowania stron od 1 do 9, użyto 9 cyfr.
Do ponumerowania stron od 10 do 99 użyto 2*90 = 180 cyfr (strony dwucyfrowe - jest ich 90).
Pozostałe strony w naszej książce są trzycyfrowe. Policzmy ile cyfr zużyto by je ponumerować.
Jest ich 639 - (9 + 180) = 450
Zatem stron trzycyfrowych w książce jest 450:3 = 150.
Liczba stron w książce jest równa 9 + 90 + 150 = 249
Odp. Książka ma 249 stron.
Zadanie 2
Kożystając z informacji w zadaniu możemy zapisać:
róże czerwone+ | róże żółte+ | róże różowe | = | 27 | |
róże białe+ | róże żółte+ | róże różowe | = | 17 | |
róże białe+ | róże czerwone+ | róże różowe | = | 21 | |
róże białe+ | róże czerwone+ | róże żółte+ | = | 22 |
Wyobraźmy sobie, że róże z tych czterech równań wrzucamy do jednego koszyka (w matematyce mówimy o dodawaniu równań stronami)
3*(róże białe+róże czerwone+róże żółte+róże różowe) = 27 + 17 + 21 + 22, co daje
róże białe+róże czerwone+róże żółte+róże różowe = 87:3 = 29
Odp. W ogrodzie cioci Ani jest 29 róż.
Zadanie 3.
W rozwiązaniu tego zadania wykorzystyjemy informację, że cyfra jedności iloczynu dwóch liczb równa jest cyfrze iloczynu jedności tych liczb.
Zatem analizujemy kolejne potęgi liczby 9.
91=9,
92=81,
93=...9, bo 9*1=9, (mnożęjedności iloczynu 81*9 = 93)
94=...1, bo 9*9=81,
itd.
Jak widać kolejne potęgi liczby 9 maję jednostkę równą 9 - w przypadku potęg nieparzystych lub 1 - w przypadku potęg parzystych)
Podobnie analizujemy potęgi liczby 18.
181=18. 182=...4 (bo 8*8=64), 183=...2 (bo 4*8=32), 184=...6 (bo 2*8=16), 185=...8 (bo 6*8=48), 186=...4 (bo 8*8=64), itd.
Wniosek! Cyfry jedności kolejnych potęg liczby 18, to 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 4, ... .
2015:4 = 503 r 3 Zatem 182015= ...2 (bo 2 jest 2015 liczbą w ciągu liczb 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 4, ... .
Odp. Cyfra jedności liczby 919, to 9, 182015, to 2.